第七章空间解析几何与向量代数 

知识点:向量的数量积及其运算规律

解:根据数量积的运算规律:(a?2b)?(3a?2b)?3a?3a22?2a?b?6b?a?4b

?(a?2b)?(3a?2b)??103

2?4a?b?4b,∵a?b?abcos(a?b)?2?152★★2.已知M1(1,?1, 2), M2(3,3,1), M3(3,1,3),求同时与M1M2 , M2M3垂直的单位向量

知识点:向量的向量积

解:∵由向量积性质:a?b?a, a?b?b,M1M2?{2,4,?1} , M2M3?{0,?2, 2}

i∴M1M2 ? M2M3j4?21k?1?6i?4j?4k为同时与M1M2 , M2M3垂直的向量 2{3,?2, ?2}??{317,?217 , ?217}

?20∴所求单位向量为?3?2?2★3.设力

222f?2i?3j?5k作用在一质点上,质点由M1(1,1,2)沿直线移动到M2(3,4,5),求此力

所做的功(设力的单位为N,位移的单位为m)

知识点:数量积的物理意义

解:数量积的物理应用之一:力沿直线作功。位移为M1M∴W?f?M1M★4.求向量a22?{2,3,3},

?(2i?3j?5k)?(2i?3j?3k)?10(N?m)

?{4,?3,4)在向量b?{2,2,1}上的投影。

知识点:向量在轴上的投影

?解:根据公式Prjba?acos(a,b)?aa?ba?b?a?bb?2。

★★5.设a?{3,5,?2} , b?{2,1,4},问?与?有怎样的关系能使?a??b与z轴垂直?

知识点:两向量垂直的充要条件

解:根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零,取z轴的单位向量{0,0,1),则

?a??b?★★★6.在杠杆上支点O??????????

的一侧与点O的距离为x1的点P1处,有一与OP1成角?1的力F1作用着,在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处,有一与OP2成角?2的力F2作用着,如图,问?1,?2,x1,

x2,F1,F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡?

图7-3-6 F2 F1 ?2 x2 x1 ?1 o

知识点:向量积的物理应用

解:P1处F1作用产生的力矩M1?OP1?F1,P2处F2作用产生的力矩M2?OP2?F2,要使杠

杆平衡,只要M★★7.设a1?M2?x1F1sin?1?x2F2sin?2

?2i?3j?k , b?i?j?3k , c?i?2j,求

(1)(a?b)c?(a?c)b; (2)(a?b)?(b?c); (3)(a?b)?c

知识点:向量运算的坐标表示

解(1)(a?b)c?(a?c)b?8c?8b?{0 , ?8, ?24}

i (2)(a?b)?(b?c)?{3,?4, 4}?{2,?3, 3}?3j?4?3k4??j?k 32i (3)(a?b)?c?(2j?3?1k1)?c?{?8, ?5, 1}?{1,?2, 0}?2 31★★★8.直线L通过点A(?2,1,3)和B(0,?1,2)求点C(10,5,10)到直线L的距离。

知识点:向量积

思路:在A,B,C为顶点组成的三角形中,AB边上的高即为所求距离。

?????1????AB?AC 解:设所求的距离值为h,AB?3,又根据向量积的性质:S?ABC2iAB?AC?212?S?ABC?12j?24k?1??10i?26j?32k?AB?AC?30712?3h?h?1022

AB?AC?★★★★9.试证向量

ab?baa?b表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向。

思路:按题意,只要证该向量在a方向上的投影和它在b方向上的投影相同。 解:设c?ab?baa?bb?cb,Prjac?a?ca?ba?aa(a?b)baa?b?ab?aa(a?b)b?aa?b?baa?b?b?aa?b,

而Prjbc??bb?ab(a?b)?ab?bb(a?b)???Prjac

又c?ab?baa?b?ka?(1?k)b , (k?ba?b)∴c和a、b在同一平面上,

∴c表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向

★★10.设m?2a?b , n?ka?b,其中a?1 , b?2,且a?b。

知识点:向量的数量积、向量积及其性质

(1)k为何值时,m?n?

解:m?n?m?n?0,由m?n?0?(2a?b )?(ka?b)?2k?(2?k)a?b?4?0

∵a?b,∴a?b?0?k??2

(2)k为何值时,m与n为邻边的平行四边形面积为6。

解:m与n为邻边的平行四边形面积S?m?n?(2a?b )?(ka?b)?(2?k)a?b

∵a?b,∴a?b?ab?2?S?22?k?6?k??1或k?5

★★★11.设a,b,c均为非零向量,其中任意两个向量不共线,但a?b与c共线,c?b与a共线,试

a?b?c?0。

证明:∵a?b与c共线,c?b与a共线,∴可设?1(a?b)?c, c?b??2a ,(?1?0,?2?0)

代入可推得?(?2??1)a?(1??1)b,又∵其中任意两个向量不共线,则由a,b不共线且为非零向量,可得:

?2??1?1??1?0??2??1??1?a?b?c?0

★★★12.试证向量a??i?3j?2k , b?2i?3j?4k , c??3i?12j?6k在同一平面上,并沿

a和b分解c。

知识点:向量的混合积及其几何意义

解:根据向量混合积的几何意义:a,b,c共面?(a?b)?c?0,

?1又(a?b)?c?3?3122?4??30?3?0?2?15?0,∴a,b,c共面 62?3设c=?1a??2b,将a,b,c代入?2?2??1??3, 3(?1??2)?12, 2?1?4?2?6

??1?5, ?2?1? c?5a?b

★★★13.设点A,B,C的向径分别为r1?2i?4j?k , r2?3i?7j?5k , r3?4i?10j?9k,

试证:A,B,C三点在一直线上。

思路:只要证:向量AB和AC平行

???????????证明:AB?OB?OA?{3,7,5}?{2,4,1}?{1,3,4}; ???????????AC?OC?OA?{4,10,9}?{2,4,1}?{2,6,8}

????????????????∵AC?2AB?AB//AC

★★★14.已知a?{a1,a2,a3} , b?{b1,b2,b3} , c?{c1,c2,c3},试利用行列式的性质证明:

(a?b)?c?(b?c)?a?(c?a)?b

a1a2b2c2a3c3b1a1b2c2a2b3c3, a3证明:(a?b)?c?b1c1b3, (b?c)?a?c1b1而行列式 c1b2c2a2b3a3a1c1a2b2c2a3b3交换两次两行得到, c3c3是行列式b1a1∴(a?b)?c?(b?c)?a。同理可证:(b?c)?a?(c?a)?b, ∴(a?b)?c?(b?c)?a?(c?a)?b

222222★★★15.试用向量证明不等式:

222a1?a2?a3?b1?b2?b3?a1b1?a2b2?a3b3。

思路:a1?a2?a3可看作向量a?{a1,a2,a3}的模;

b1?b2?b3是向量b?{b1,b2,b3}的模,而a1b1?a2b2?a3b3是a?b的值。

222证明:设a?{a1,a2,a3},b?{b1,b2,b3},则a?a1?a2?a3,b?222b1?b2?b3

222?∵a?b?abcos(a?b)?ab?a?b 即:

a1?a2?a3?222b1?b2?b3222?a1b1?a2b2?a3b3

内容概要 主要内容(7-4,7-5,7-8) 曲面及其方程 柱面 轴旋转而成) (2) 旋转单叶双曲面:常见旋转曲面 (1) xoz面上曲线f(x,z)?0绕z轴旋转的旋转曲面方程:f(?圆锥面:z2222旋转曲面 xoy面上曲线f(x,y)?0绕x轴旋转的旋转曲面方程:f(x,?yoz面上曲线f(y,z)?0绕z轴旋转的旋转曲面方程:f(?2y?z222?0 x?y,z)?0 x?y,z)?0 22?a(x?y)(yoz面上曲线z?y绕z轴旋转而成) x?ya222?zc22?1(zox面上的曲线xa22?zc22?1绕z?f(x,y)?0母线平行于z轴的柱面 f(x,y)?0表示准线为:?z?0??f(y,z)?0母线平行于x轴的柱面 f(y,z)?0表示准线为:?x?0??f(x,z)?0母线平行于y轴的柱面 f(x,z)?0表示准线为:?y?0?柱面方程特点:缺少某个变量 常见柱面 (1)抛物柱面:y2?ax?b表示母线平行于z轴的抛物柱面 (2)椭圆柱面:xaya22?zbzb22?1表示母线平行于y轴的椭圆柱面 2222(3)双曲柱面: 二次曲面 空间曲线??1表示母线平行于x轴的双曲柱面 椭球面、抛物面、双曲面 L的一般方程 L的参数方程 ?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0x??(t) , y??(t) , z??(t)



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