高中数学竞赛专题讲座之函数的基本性质

基础知识:

函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等,在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧妙利用函数及其图象的相关性质,可以使得问题得到简化,从而达到解决问题的目的.

关于函数的有关性质,这里不再赘述,请大家参阅高中数学教材及竞赛教材:陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题:

已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)( )

A.在区间(-2,0)上单调递增 B.在(0,2)上单调递增

C.在(-1,0)上单调递增 D.在(0,1)上单调递增

提示:可用图像,但是用特殊值较好一些.选C

设f(x)是R上的奇函数,且f(x+3)=-f(x),当0≤x≤时,f(x)=x,则f(2003)=( )

A.-1 B.0 C.1 D.2003

解:f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x)

∴ f(x)的周期为6

f(2003)=f(6×335-1)=f(-1)=-f⑴=-1

选A

定义在实数集上的函数f(x),对一切实数x都有f(x+1)=f(2-x)成立,若f(x)=0仅有101个不同的实数根,那么所有实数根的和为( )

A.150 B. C.152 D.

提示:由已知,函数f(x)的图象有对称轴x=

于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.

即有一个根就是,其余100个根可分为50对,每一对的两根关于x=对称

利用中点坐标公式,这100个根的和等于×100=150

所有101个根的和为×101=.选B

实数x,y满足x2=2xsin(xy)-1,则x1998+6sin5y=______________.

解:如果x、y不是某些特殊值,则本题无法(快速)求解

注意到其形式类似于一元二次方程,可以采用配方法

(x-sin(xy))2+cos2(xy)=0

∴ x=sin(xy) 且 cos(xy)=0

∴ x=sin(xy)=±1

∴ siny=1 xsin(xy)=1

原式=7

已知x=是方程x4+bx2+c=0的根,b,c为整数,则b+c=__________.

解:(逆向思考:什么样的方程有这样的根?)

由已知变形得x-

∴ x2-2x+19=99

即 x2-80=2x

再平方得x4-160x2+6400=76x2

即 x4-236x2+6400=0

∴ b=-236,c=6400

b+c=6164

已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),f(x)=0有实数根,且f(x)=1在(0,1)内有两个实数根,求证:a>4.

证法一:由已知条件可得

△=b2-4ac≥0 ①

f⑴=a+b+c>1 ②

f(0)=c>1 ③

0<-<1 ④

b2≥4ac

b>1-a-c

c>1

b<0(∵ a>0)

于是-b≥2

所以a+c-1>-b≥2

∴ ()2>1

∴ >1

于是+1>2

∴ a>4

证法二:设f(x)的两个根为x1,x2,

则f(x)=a(x-x1)(x-x2)

f⑴=a(1-x1)(1-x2)>1

f(0)=ax1x2>1

由基本不等式

x1(1-x1)x2(1-x2)≤[(x1+(1-x1)+x2+(1-x2))]4=()2

∴ ≥a2x1(1-x1)x2(1-x2)>1

∴ a2>16

∴ a>4

已知f(x)=x2+ax+b(-1≤x≤1),若|f(x)|的最大值为M,求证:M≥.

解:M=|f(x)|max=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(-)|}

⑴若|-|≥1 (对称轴不在定义域内部)

则M=max{|f⑴|,|f(-1)|}

而f⑴=1+a+b

f(-1)=1-a+b

|f⑴|+|f(-1)|≥|f⑴+f(-1)|=2|a|≥4

则|f⑴|和|f(-1)|中至少有一个不小于2

∴ M≥2>

⑵|-|<1

M=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(-)|}

=max{|1+a+b|,|1-a+b|,|-+b|}

=max{|1+a+b|,|1-a+b|,|-+b|,|-+b|}

≥(|1+a+b|+|1-a+b|+|-+b|+|-+b|)

≥[(1+a+b)+(1-a+b)-(-+b)-(-+b)]

综上所述,原命题正确.

⑴解方程:(x+8)2001+x2001+2x+8=0

⑵解方程:

⑴解:原方程化为(x+8)2001+(x+8)+x2001+x=0

即(x+8)2001+(x+8)=(-x)2001+(-x)

构造函数f(x)=x2001+x

原方程等价于f(x+8)=f(-x)

而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数

于是有x+8=-x

x=-4为原方程的解

⑵两边取以2为底的对数得

于是f(2x)=f(x2+1)

易证:f(x)世纪函数,且是R上的增函数,

所以:2x=x2+1

解得:x=1

设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,f⑴=1,f⑵=2,f⑶=3,求[f⑷+f(0)]的值.

解:由已知,方程f(x)=x已知有三个解,设第四个解为m,

记 F(x)=f(x)-x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)

∴ f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)+x

f⑷=6(4-m)+4

f(0)=6m

∴ [f⑷+f(0)]=7

设f(x)=x4-4x3+x2-5x+2,当x∈R时,求证:|f(x)|≥

证明:配方得:

f(x)=x2(x-2)2+(x-1)2-

=x2(x-2)2+(x-1)2-1+

=(x2-2x)2+(x-1)2-1+

=[(x-1)2-1]2+(x-1)2-1+

=(x-1)4-2(x-1)2+1+(x-1)2-1+

=(x-1)4+(x-1)2+

练习:

已知f(x)=ax5+bsin5x+1,且f⑴=5,则f(-1)=( )

A.3 B.-3 C.5 D.-5

解:∵ f⑴=a+bsin51+1=5

设f(-1)=-a+bsin5(-1)+1=k

相加:f⑴+f(-1)=2=5+k

∴ f(-1)=k=2-5=-3

选B

已知(3x+y)2001+x2001+4x+y=0,求4x+y的值.

解:构造函数f(x)=x2001+x,则f(3x+y)+f(x)=0

逐一到f(x)的奇函数且为R上的增函数,

所以3x+y=-x

4x+y=0

解方程:ln(+x)+ln(+2x)+3x=0

解:构造函数f(x)=ln(+x)+x

则由已知得:f(x)+f(2x)=0

不难知,f(x)为奇函数,且在R上是增函数(证明略)

所以f(x)=-f(2x)=f(-2x)

由函数的单调性,得x=-2x

所以原方程的解为x=0

若函数y=log3(x2+ax-a)的值域为R,则实数a的取值范围是______________. 解:函数值域为R,表示函数值能取遍所有实数,

则其真数函数g(x)=x2+ax-a的函数值应该能够取遍所有正数

所以函数y=g(x)的图象应该与x轴相交

即△≥0 ∴ a2+4a≥0

a≤-4或a≥0

解法二:将原函数变形为x2+ax-a-3y=0

△=a2+4a+4·3y≥0对一切y∈R恒成立

则必须a2+4a≥0成立

∴ a≤-4或a≥0

函数y=的最小值是______________.

提示:利用两点间距离公式处理

y=

表示动点P(x,0)到两定点A(-2,-1)和B(2,2)的距离之和

当且仅当P、A、B三点共线时取的最小值,为|AB|=5

已知f(x)=ax2+bx+c,f(x)=x的两根为x1,x2,a>0,x1-x2>,若0<t<x1,试比较f(t)与x1的大小.

解法一:设F(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+c,

=a(x-x1)(x-x2)

∴ f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x

作差:f(t)-x1=a(t-x1)(t-x2)+t-x1

=(t-x1)[a(t-x2)+1]

=a(t-x1)(t-x2+)

又t-x2+<t-(x2-x1)-x1=t-x1<0

∴ f(t)-x1>0

∴ f(t)>x1

解法二:同解法一得f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x

令g(x)=a(x-x2)

∵ a>0,g(x)是增函数,且t<x1

( g(t)<g(x1)=a(x1-x2)<-1

另一方面:f(t)=g(t)(t-x1)+t

∴ =a(t-x2)=g(t)<-1

∴ f(t)-t>x1-t

∴ f(t)>x1

f(x),g(x)都是定义在R上的函数,当0≤x≤1,0≤y≤1时.

求证:存在实数x,y,使得



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