基于差分方程的湖水污染问题

基于差分方程模型对湖水污染问题的分析

一概要

本文讨论了湖水浓度变化趋势的预测问题。 通过分析水流输入输出湖泊的过程,建立了湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型,在湖水污染浓度恒定和自然净化速率呈线性关系的情况下,求得其准确解,带入具体数据得到结论:在PCA声称的湖水污染浓度下,湖的环境不会恶化;在工作人员实施测得的河水浓度下,湖的环境将会恶化。

同时建立了计算机模拟模型,带入具体数值,运用时间步长法来仿真模拟了在湖水污染浓度稳定以前湖水每天的变化情况,输出自PCA建厂以来每年的湖水污染浓度变化,得到与微分方程模型相同的结论。

在全停产和半停产时,通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然进化影响下的恢复到自然净华指标所需年限。并可得到结论:在半停产条件下,在选定的自然净化速率常数的约束下,只有当河水污染浓度降至原来的3.15%(自然净化速率成线性关系),4.7%(自然净化速率呈指数关系),才有可能使河水在100年内恢复至0.001mol/l,然后给出整改建议。

关键字:时间步长法微分方程模型logistic模型

二问题重述

Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。PCA将为处理的废水排入河中,导致了Pristine湖被污染。PCA公司声称:已排放的废水的标准多年从未改变且不会对湖的环境有影响。

Pristine湖的湖容量为1015l,流入(流出)的水流速度为1.9?1014l/年。PCA声称河水污染浓度仅为0.001mol/l,自工厂开工以来没有改变过。

问题:

1.在花费时间和经费去测试之前,建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。

2.派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为0.03 mol/l,再测得河水污染浓度为0.05 mol/l。以新数据为依据考虑湖水污染问题的数学模型。

3.现在假设你是环保局的所聘请的高级顾问,请向你的雇主提交一份报告.内容包括:

(1)在工厂停产(或半停产)条件下,湖水自然净化所需年限(净化指标为污染浓度不超过0.001 mol/l);

(2)为保护环境,对PCA进行整改的建议。

三问题假设

1.假设降水量和蒸发量相等。

2.湖中流入量和流出量相等且一直未变。 3.湖水混合均匀,污染物质和湖水瞬间混合。 4.湖内无其它污染源,只有PAC的污染源。

5.在整个大环境下,河水和湖水在污染源的浓度不一致。 6.在时间允许的范围内,假设整个湖水容量不发生变化。 7.污染源属于什么态的物质

四符号说明和名词解释

?0 ? V c 河水污染浓度 湖水污染物浓度 湖泊容量 自然净化速率 流入(流出)的水流速度 从PCA建厂至考察时刻的时间段 mol/l mol/l 1015L mol(/l.年) L/年 天 ? t 五问题分析

5.1 对于水域基本情况分析

由于题目假设可得,我们对于整个水质的大环境假设为一个容积不变的大容器。基于在该流域里,降水量和蒸发量保持相等,湖水流入量和流出量相等且一直不变,所以我们假设该水域环境下,其容积不发生变化。

针对污染源的不同污染和净化的情况,我们把该水域分为两个部分,湖水和河水。这两部分水的成分只在湖水的连接区域保持联系。

鉴于河水的流动性,水质轮新的速度较快,所以我们可以做这样的定义:其中湖水作为净化的场所,而对于河水而言,其功能上就是作为PC A公司投放污染源的场所。所以我们考虑对于污染源进入该流域内的速度,根据题意直接所得的相关表示形式。

5.2 对于题设条件下对于水质净化作用的分析

而对于该水域内自带的水质净化作用,我们初步定义,对于水质的净化作用需要考虑该水域的面积和深度(即容积的大小)等因素。对于该题而言,该流域的净化作用能力主要体现在流出过程中的排污能力和多种形式的自我净化作用能力。

针对水质的自我净化作用和污染作用这两个过程,我们考虑是一个相互抗衡的阶段,根据题设已知污染源进入水质的速度恒定,我们考虑得,水质的净化作用速度收到该水域环境下的污染浓度限制,这样的过程是一个负反馈的过程。由基本假设得到,只有当达到污染源的浓度超过某个阶段,也就意味着水质的净化作用相应有一定幅度地减少。而针对在无污染的情况下,水质的净化作用随着水质的逐渐改善不断提高。

5.3 对于净化标准划定的分析

根据题意已知,当该水域的污染程度达到0.001mol/l,才达到需要治理水质的要求,这是一个基本红线。

5.4 对于污染源划定的基本分析

污染源的划定,我们假设其作为含有某系列物质的溶液,其主要分为含有不同污染能力的固态物质若等,对于题三的整改部分,我们可以对公司提供一定的建议。鉴于公司不能直接切实有效对污染源的量做到减少,只有在排放的部分中做一定改善。对于不同污染能力的污染源物质,可以采取固态物质粉碎颗粒化,对于溶液进一步稀释。

综上所述,对于该题,我们得到如下基本分析。在前假设条件的基础之上,湖水容量不变,出河水外无其他的污染源,故我们可将湖泊作为一个封闭的生态系统,其简化的湖水被污染的动态过程为:受污河水输入湖水中,河水与湖水均匀混合,受污水质在湖水区域内进行自我净化,湖水从输出端流出湖泊。湖中污染物的量直接决定了湖水污染浓度,而污染物的量受到以下两方面因素的影响:1.河水的污染浓度及其流入速度(根据已知此速度不变), 2.湖水的自我净化速度,前者使其增加,后者使其减少。

问题一、二、三的实质都是要分析污染浓度的变化趋势,而关键就在于前一因素的不同。问题一中,河水污染浓度不变,恒为0.001mol/L;问题二中,河水

污染浓度可能会变化,受PCA效益的影响而按一定规律波动;问题三中,在全停产或半停产的情况下,和硕污染浓度为0或减为问题二中的一部分。后一因素(自然净化速度)在三个问题中的作用都是相同的。

六模型建立及求解

问题一:

我们对于整个水域的探究,假设在整个大环境下,对于该水域而言,基于河水的流动性的特点,我们可以做基本假设,认为PC A公司将污染源投放到河水中,也就是说河水具有污染源进入水域的特点。

基于湖水的相对闭塞性的特点,我们可以做基本假设,认为湖水区域作为自我净化的场所。我们可以在该区域找部分区域作为其中净化的场所。

在对于整个大环境的探究过程中,我们暂定认为,该水域由一条流进湖的pure 河中间的Pristine湖和一条流出湖的组成。对于该水域的动态变化过程可以认为,该水域的污染来源是PCA公司的污染投放,该水域对于污染的净化能力分为其湖水的自我净化能力和流出该湖的清洁能力。

根据微积分的知识可知,在适当短的时间段之内,通过建立微分方程,可以将连续的过程离散化,从而可以得到湖水污染浓度与时间之间的关系式。

所以鉴于湖水的实际情况,我们可以用如下图的示意图1表示这种情况。

图1

由相关研究表示,湖水的自我净化作用相对于污染物直接从输出端流出的量较少,我们在处理问题一时,先不考虑湖水区域的自我净化作用。 (1)不考虑湖水的自我净化作用

由于假设湖中流入量和流出量相等,而在经过与湖水均匀混合后,流出湖水污染浓度明显减小,故流出污染物的量小于流入污染物的量,污染物将在湖中沉积,从而使湖水污染浓度增加,当其增加至和输入的河水污染浓度相等时。在这种情况下,湖水污染浓度达到最大,并稳定在这一数值,不再增加。

建立湖水污染浓度随时间变化的微分方程模型:设在极短时间dt,湖水污染浓度增加d?,在将湖水被污染这一连续动态过程简化为离散的瞬间静止状态(如问题分析中所述)之后,根湖中剩余量=输入量—输出量,我们可以列微分方程如下

我们做如下规定:

Vd???????0dt(1)

把该式子求解得,??me?u(2)

将相关数据带入化简可得:可得?和t的关系式如下:

utv??0.001*(1?e?0.19t)(3)

通过此关系式我们可知,当t=?时,湖水污染浓度将趋近与0.001mol/L,即湖的环境不会恶化。

建立计算机模拟模型:湖水污染浓度的变化时有湖中污染物随时间的积累而引起的,这个逐步积累的过程我们可以用计算机进行仿真模拟,其实质为完成一个循环累加的过程,并可改变时间步长,如一年一年的累积,一月一月的累积,一天一天的累积,从而使我们的模拟值逐步精确,可与微分方程求得精确解比较,分析误差。为提高模拟结果的精确性和运算的效率,我们采用了逐天累加,数出年污染浓度的方式。

模拟程序见附件一,从后面的分析中我们可知:在此河水污染浓度恒定,无自然净化的最简单的情况下建立的模型是以后问题的基础,后面的问题只是改变条件或数据,其实质是不变的,故我们在此程序中加入了多个选择语句,在不同的条件或数据下执行不同的命令,从而用一个程序解决了全部的模拟问题。

模拟所得数据如下表1所示: 年份 1 3 5 8 10 1.73 4.35 6.14 7.82 8.51 ?10?4 年份 15 9.43 20 9.78 30 9.97 40 9.995 50 9.999 ?10?4 表1

根据模拟数据所作的湖水污染浓度变化趋势如下图2所示

图2



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