陕西省石泉县高中数学第四章定积分4.3.2简单几何体的体积教案北师大版选修22 

3.2简单几何体的体积

理解定积分概念形成过程的思想,会根据该思想求简单旋转体的体积问题。 课标要求 (1)知识与技能:, 会求简单旋转体的体积问题。 (2)过程与方法:理解定积分概念形成过程的思想。 三维目标 (3)情感态度与价值观:通过本节的学习,体会微积分在实际生活中的广泛应用。 \简单几何体的体积\主要推导了圆锥和球的体积公式,其重点在于分析圆锥体和球的体积公式的数学模型建立的过程,目的在于进一步深化学生对定积分概念的理解,掌教材分析 握定积分概念的核心,能够利用这种方法解决现实生活中的其他问题,真正做到学以致用. 学生已经在前面已经学习了微积分的基本知识和求平面图形的面学情分析 积,所以学习本章就比较容易了。 重点:利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题; 教学重难点 难点;数学模型的建立及被积函数的确定。 提炼的课题 教学手段运用 专家伴读 教学资源选择 教学过程

(一)、复习:(1)、求曲边梯形面积的方法是什么?(2)、定积分的几何意义是什么?(3)、微积分基本定理是什么? (二)新课探析

问题:函数y?f?x?,x??a,b?的图像绕x轴旋转一周,所得到的几何体的体积

简单几何体的体积 V? 。 V???[f(x)]2dx

ab 1

典例分析

例1、给定直角边为1的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体。求它的体积。 Y 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限(逼近) 学生阅读课本P89页分析,教师引导。 解:圆锥体的体积为 O 1 X ?xi Y O X

V???x2dx?01?3x310??3

变式练习1、求曲线y?ex,直线x?0, x?得旋转体的体积。 答案:

1与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所2?2(e?1);

例2、如图,是常见的冰激凌的形状,其下方是一个圆锥,上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状,尺寸如图所示,试求其体积。

分析:解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置放置,并建立坐标系。则A,B坐标可得,再求出直线AB和抛物线方程, “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。

解:将其轴载面按下图位置放

置,并建立如图的坐标系。则A(12,0), B(4,4),设抛物线弧OA所在的抛物线方程为:

y2?2px,代入B(4,4)求得:p?2

∴抛物线方程为:y?4x(y?0)

设直线AB的方程为:代入B(4,4)求得:x?qy?12,q??2

2 2

∴直线AB的方程为:y??1x?6 2121?4?224?223 (2x)dx?(?x?6)dx?(cm)???0423??∴所求“冰激凌”的体积为:??变式练习2

如图一,是火力发电厂烟囱示意图。它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体。烟囱最细处的直径为10m,最下端的直径为

12m,最细处离地面6m,

烟囱高14m,试求该烟囱占有空间的大小。 (图二) (图一)

(精确到0.1m3) 答案:1659.2m3 归纳总结:求旋转体的体积和侧面积

由曲线y?f(x),直线x?a,x?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积为V??b?ba[f(x)]2dx.其侧面积为

S侧?2??f(x)1?[f'(x)]2dx.

a求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程,总结求旋转体体

V???f2?x?dx,即可求旋转体体积的值。

ab(三)、课堂小结:求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程,总结求旋转体体积公式步骤如下:1.先求出y?f?x?的表达式;2.代入公式V?转体体积的值。

?ba?f2?x?dx,即可求旋

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