传递函数

倒立摆实验

受力分析:

在忽略了空气阻力、各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图 1.1 所示

图 1.1直线一级倒立摆系统

本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表 1.1 所示。

图 1.2 是系统中小车的受力分析图。其中,N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图 1.2 系统中小车的受力分析图

图1.3是系统中摆杆的受力分析图。Fs是摆杆受到的水平方向的干扰力,Fh是摆杆受到的垂直方向的干扰力,合力是垂直方向夹角为?的干扰力Fg。

图 1.3 摆杆受力分析图

注意:在实际倒立摆系统中检测装置和执行装置的正负方向已确定,因而矢量方向定义如图所示,图示方向为矢量正方向。

(2)数学模型:

分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程:

??F?bx??N M?x设摆杆受到与垂直方向夹角为?的干扰力Fg,可分解为水平方向,垂直方向的干扰力,所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力Fs,垂直干扰力Fh产生的力矩。

Fs?Fgsin?,Fh?Fgcos?

对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:

d2N?Fs?m2(x?lsin?)

dt??cos??ml??2sin??Fsin? ??ml?即:N?m?xg对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析,可得到下面方程:

d2?P?mg?Fh?m2(l?lcos?)

dt??sin??ml??cos? 即:?P?mg?Fgcos??ml?2???0 力矩平衡方程如下:Fglsin?cos??Fglcos?sin??Plsin??Nlcos??I?代入P和N,可得到方程:

???mglsin??ml2??2sin2??ml??cos??0 2Fglsin?cos??2Fglcos?sin??(I?ml2cos2?)?x设?????(?是摆杆与垂直向上方向之间的夹角,单位是弧度),代入上式。 假设??1,则可进行近似处理:

d?2)?0,cos2??1,sin2??? dt12由于:I?ml

34??? ?mg??m?x方程可化为:2Fg(?sin???cos?)?ml?34??? ?mg??m?x令:Ff?Fg(?sin???cos?)?ml?34??? ?mg??m?x可化为:2Ff?ml?3cos??1,sin???,(上式即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程,代入实际数据后,微分方程可进一步写成;

???29.4??3???6?x当忽略了Ff,系统的微分方程可进一步写成:

Ffm

???29.4??3?? ?x忽略干扰力后,系统是单输入二输出的四阶系统,考虑干扰力后,直线一级倒立摆系统

?,摆是二输入二输出的四阶系统。其内部的4个状态量分别是小车的位移x,小车的速度x杆的角度?,摆杆的角速度??。直线一级倒立摆系统输出的观测量为小车的位移x,摆杆的

?,x角度?。起控制量为小车的加速度?Ff是直线一级倒立摆运动中各种干扰因素的综合项,

可以等效为干扰力考虑。

五、 实验原理:

(1)建立系统传递函数:

根据系统微分方程,化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数:

?(s)R(s)(2)直线一级倒立摆系统稳定性分析:

?3 2s?29.4

图1.4 闭环系统结构图

构建如图1.4所示闭环系统,则系统的闭环几点为(-5.4222),(5.4222); 由于有实部为正的极点,所以闭环系统不稳定,必须设计控制器使系统稳定。

伺服电机实验

1.通过机理法计算系统的传递函数:

(1)直流伺服电机驱动的进给系统传递函数: ①驱动模块:

进给系统由直流电机驱动,包括放大器,测速计等。驱动模块各元器

件构成如图1.2所示。

图1.2 驱动模块

当电枢绕组内阻较大时,ia可视为常数,这时M与if成正比,因此

M?K?if (1.1) 式中:K为电机转矩常数。电机运动平衡方程为:

???B???M (1.2) J?磁场回路方程为:

Lfi?f?Rfif?uf (1.3) 将式(1.1)代入式(1.2),并对式(1.2),式(1.3)取拉式变换:

(Js2?Bs)?(s)?KIf(s) (Lfs?Rf)If(s)?Uf(s)

求得直流电机的传递函数为:

Gm(s)?Km?(s)K??Ua(s)s(Lfs?Rf)(Js?B)s(Tfs?1)(Tms?1)

(1.4)

式中:Km?Tf?Tm?K,为电机增益; RfBLfRf为磁场电路时间常数; ,J,为电枢机械旋转时间常数。 B若不计磁场回路中的电感,则传递函数可简化为:



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