陕西省石泉县高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则教案北师大版选修22 

简单复合函数的求导法则

课标要求 了解复合函数的求导法则,能求简单复合函数的导数。 1.知识与技能:了解简单复合函数的求导法则;会运用上述法则,求简单复合函数的导数。 2.过程与方法:通过例题及习题的求导过程体验复合函数的求导法则的应用,逐步三维目标 提高复合函数求导的计算能力。 3、情感、态度与价值观:通过本节学习,领悟复合函数在实际应用中的作用,深化用数学知识解决问题的意识,发展数学思维的创新意识。 教材主要研究形如y?f(ax?b)(a?0)的简单复合函数的求导法则,不要求证明教材分析 复合函数的求导法则。力求通过具体的例子帮助学生理解复合函数的求导法则。 学情分析 教学重难点 难点:将复合函数分解为两个简单函数。 提炼的课题 教学手段运用 专家伴读、PPT 教学资源选择 教学过程 一、复习:

1. 常见函数的导数公式:

复合函数的求导法则 学生会用初等函数的导数公式及和、差、积、商运算法则求部分函数的导数。 重点:简单复合函数的求导法则的应用 C'?0;(xn)'?nxn?1;(sinx)'?cosx;(cosx)'??sinx

2. 两个函数的和、差、积、商的求导法则 法则1 [u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x). 法

2

[u(x)v(x)]??u'(x)v(x)?u(x)v'(x),

[Cu(x)]??Cu'(x)

?u?u'v?uv'法则3 ???(v?0) 2vv??二、探究新课

' 1

(一)、自主学习

学生阅读课本49页“实例分析”。 1. 复合函数的定义:

一般地,对于两个函数y?f(u)和u??(x)?ax?b,给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,这样y可以表示成

x的函数,我们称这个函数为函数y?f(u)和u??(x)的复合函数,

记作y?f(?(x))。其中u为中间变量。

2.复合函数y?f(?(x))的导数为:

y?x?[f(?(x))]??f(u)??(x)? (y?x表示y对x的导数)

3.复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数

4.复合函数求导的基本步骤是: 分解——求导——相乘——回代. (二)、典例精讲

例1、试说明下列函数是怎样复合而成的?

⑴ y?(2?x2)3; ⑵y?sinx2;

⑵ ⑶y?cos(?)4?x); ⑷y?lnsin(3x?1.

解:⑴函数y?(2?x2)3由函数y?u3和u?2?x2复合而成;

⑵函数y?sinx2由函数y?sinu和u?x2复合而成;

⑶函数y?cos(??x)由函数y?cosu和u??44?x复合而

成;

⑷函数y?lnsin3x(?1)由函数y?lnu、u?sinv和

v?3x?1复合而成.

说明:讨论复合函数的构成时,“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数,如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数

2

等.

例2、求函数y?3x?1的导数。 例3、求函数y?(2x?1)3的导数。

注意:在利用复合函数的求导法则求导数后,要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成,所以在求复合函数的导数时,先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的,特别要注意将哪一部分看作一个整体,然后按照复合次序从外向内逐层求导.

例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中,水面高度y(单位:cm)。关于时间t(单位:s)的函数为y?h(t)?1002t?1,求函数在t=3时的导数,并解释它的实际意义。 解:函数y?h(t)?1002t?1是由函数f(x)?100x与x??(t)?2t?1复合而成的,其中x是中间变量。

∴y100200t??h?(t)?f?(x)??(t)??x2?2??(2t?1)2。 将t=3代入h?(t)得:

h?(3)??20049(cm/s)。 它表示当t=3时,水面高度下降的速度为20049 cm/s。

三、课堂检测:

1.课本51页练习

2.专家伴读29页变式1、2 四、小结:

1.复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合函数分解成为较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则求导;

2.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代 五、作业

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六、预习:

整理本章知识,熟记求导公式和法则。

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